前言
典例剖析
例1求证直线\((2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m\in R)\)恒过某一个定点\(P\)，并求其坐标。
法1：赋值法，令\(m=1\)，得到直线为\(3x+2y=11\)；令\(m=2\)，得到直线为\(5x+3y=18\)；联立求得交点为\(P(3，1)\)。
再将点\(P(3，1)\)代入直线验证，\((2m+1)x+(m+1)y=(2m+1)\times 3+(m+1)\times 1=7m+4\)，故直线\((2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m\in R)\)恒过某一个定点\(P(3，1)\)。
【补记】：当然还可以将这个解法更特殊化为，令\(2m+1=0\)，得到\(m=-\cfrac{1}{2}\)，代入原直线得到\(y=1\)；令\(m+1=0\)，得到\(m=-1\)，代入原直线得到\(x=3\)；联立求得交点为\(P(3，1)\)。
赋值法原理说明图：由于题目中不论\(m\)取到何值时，都对应平面内的唯一的一条直线，故可以给参数\(m\)赋值，
法2：换元法，由直线方程的点斜式形式\(y=k(x-x_0)+y_0\)，可知直线必然经过点\(P(x_0，y_0)\)，故思考将其通过换元法改写为点斜式；
①当\(m+1\neq 0\)时，由原直线得到\(y=-\cfrac{2m+1}{m+1}x+\cfrac{7m+4}{m+1}\)，
令\(-\cfrac{2m+1}{m+1}=k\)，则得到\(m=\cfrac{-k-1}{k+2}\)，代入得到\(\cfrac{7m+4}{m+1}=-3k+1\)，
故原直线可化为\(y=kx-3k+1=k(x-3)+1\)，故直线经过点\(P(3，1)\)。
②当\(m+1=0\)时，即\(m=-1\)，代入得到直线为\(x=3\)，此时点\(P\)也在直线上，
综上所述，直线必经过点\(P(3，1)\)。
法3：利用共点直线系方程求解
经过两条直线\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0，l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)的交点的直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0(除l_2)\)，其中\(\lambda\)是待定系数。
将直线方程中的\(m\)看成参数，分离得到\((2x+y-7)m+(x+y-4)=0\)，
则由\(\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.\)，求得\(\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.\)，
即两条直线的交点为\(P(3，1)\)，也即原直线必过定点\(P(3，1)\)。
例2【衡水金卷，直线过定点类型，较难】
如图所示，已知点\(A(-1，0)\)是抛物线的准线与\(x\)轴的交点，过点\(A\)的直线与抛物线交于点\(M，N\)两点，过点\(M\)的直线交抛物线于另一个点\(Q\)，且直线\(MQ\)过点\(B(1，-1)\).
(1).求抛物线的方程。
分析：由题目图形可知，\(\cfrac{p}{2}=1\)，则\(p=2\)，故顶点在坐标原点，开口向右的抛物线的方程为\(y^2=2px\)，即\(y^2=4x\)。
(2).求证：直线\(QN\)过定点。
分析：如果直线过定点\((m，n)\)，则直线的表达式必然应该能化为：\(y-n=k(x-m)\)类型。
设点\(M(4t^2，4t)\)，点\(N(4t_1^2，4t_1)\)，点\(M(4t_2^2，4t_2)\)，则由题目易知直线\(MN\)的斜率存在，
且\(k_{MN}=\cfrac{4t-4t_1}{4t^2-4t_1^2}=\cfrac{1}{t+t_1}\)，从而直线\(MN\)的方程是\(y=\cfrac{1}{t+t_1}(x-4t^2)+4t\)，即\(x-(t+t_1)y+4tt_1=0\)。
同理可知，直线\(MQ\)的方程\(x-(t+t_2)y+4tt_2=0\)，直线\(NQ\)的方程\(x-(t_1+t_2)y+4t_1t_2=0\)，
又点\(A\)在直线\(MN\)上，从而有\(4tt_1=1\)，即\(t=\cfrac{1}{4t_1}\)；点\(B\)在直线\(MQ\)上，
从而有\(1+(t+t_2)+4tt_2=0\)，即\(1+(\cfrac{1}{4t_1}+t_2)+4\times \cfrac{1}{4t_1}t_2=0\)，
化简得到\(4t_1t_2=-4(t_1+t_2)-1\)，
代入\(NQ\)的方程，得到\(x-(t_1+t_2)y-4(t_1+t_2)-1=0\)，
即\(y+4=\cfrac{1}{t_1+t_2}(x-1)\)，故直线\(NQ\)经过定点\((1，-4)\)。
抛物线\(y^2=4x\)上的任意点的坐标的设法一般是\((x，y)\)，本题采用\((4t^2，4t)\)，是抛物线的参数方程的一种。
注意直线过定点的证明思路。